前沿拓展：

gamma函數(shù)

如圖所示：

今天，我們來聊一聊數(shù)學(xué)中伽瑪函數(shù)的發(fā)現(xiàn)史，也體驗(yàn)一番歐拉那精妙絕倫的數(shù)學(xué)技巧。

我們假設(shè)一下，如果你是18世紀(jì)的一位非常優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，那么面對(duì)這兩個(gè)定積分，你會(huì)怎么樣？

歐拉-菲涅爾積分

現(xiàn)在我們知道這是個(gè)反常積分，也有好幾個(gè)辦法來處理，不過別忘了，你現(xiàn)在處于18世紀(jì)，傅立葉（1768-1830）要到1807年才提出傅立葉級(jí)數(shù)，這兩個(gè)積分的難度可是要比巴塞爾級(jí)數(shù)難上數(shù)百倍。

我有信心負(fù)責(zé)任地說，這時(shí)候你沒有任何辦法去解決這兩個(gè)積分，因?yàn)樵?743年，連大數(shù)學(xué)歐拉都拿這兩個(gè)積分無能為力，歐拉能做到最好的結(jié)果是證明了它們收斂。

而這個(gè)積分頻繁地出現(xiàn)在物理分析中，力學(xué)中有它，光學(xué)中有它，流體力學(xué)也有這兩個(gè)積分的身影，以至于歐拉在1743年說道：”我們必須承認(rèn)，如果有人找到一種辦法，使得這兩個(gè)積分得以確定，哪怕是得到近似的結(jié)果，對(duì)分析學(xué)來說都是不小的收獲……”。

然而40年后，歐拉解決了這難題，他計(jì)算這兩個(gè)積分的關(guān)鍵，在于利用虛數(shù)去處理伽瑪函數(shù)。

階乘我們都學(xué)過，可是我們所學(xué)的只對(duì)正整數(shù)有效，既n！=n(n-1)(n-2)…2*1。

在1722年，哥德巴赫認(rèn)識(shí)到階乘函數(shù)的定義域，能延拓到實(shí)數(shù)域上，但是他無法求解延拓后的解析式，于是他寫信給尼古拉斯·伯努利，請(qǐng)教階乘函數(shù)的插值問題，可惜一直沒有進(jìn)展。

到了1729年，他又寫信請(qǐng)教丹尼爾·伯努利（丹尼爾·伯努利是尼古拉斯·伯努利的弟弟，而約翰伯努利他們的老爸，也是歐拉的老師），丹尼爾·伯努利巧妙地避開有限插值的局限，利用無窮插值法得到了階乘插值的求解，但僅限于求值。

伯努利家族和歐拉的關(guān)系密切，這事當(dāng)然也被歐拉知道了，受到丹尼爾·伯努利無窮插值法的啟示，歐拉利用另外一個(gè)插值公式，最終得到了完美的階乘函數(shù)全實(shí)數(shù)表達(dá)式——即伽瑪函數(shù)，此時(shí)的歐拉只有22歲。

伽瑪函數(shù)

并得到了一個(gè)令人吃驚的結(jié)果：

伽瑪函數(shù)

要知道，這時(shí)候虛數(shù)還沒有被數(shù)學(xué)界承認(rèn)，歐拉到1748年才提出著名的歐拉公式，這時(shí)候的伽瑪函數(shù)只在實(shí)數(shù)定義域上被承認(rèn)。

等到歐拉熟練使用虛數(shù)后，我們來看他是如何處理文章開頭那兩個(gè)積分的。

第一，歐拉直接把伽瑪函數(shù)自變量x寫成純虛數(shù)ix，也就是：

伽瑪函數(shù)

到了這一步，我們自然會(huì)想到歐拉公式了吧，我們不妨另x=1/2，一起入歐拉公式看看會(huì)怎么樣：

伽瑪函數(shù)變形

兩邊展開實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等，立馬得到：

伽瑪函數(shù)

看到這里，你是不是看到了我們開頭那兩個(gè)反常積分的影子，沒錯(cuò)，歐拉只需做一個(gè)變換：

X=S^2

既可得到：

歐拉-菲涅爾積分

歐拉真是天才?。?！——但是他還沒完，他利用伽瑪函數(shù)還解決了其他反常定積分。

我們看到，在歐拉的處理中，虛數(shù)i當(dāng)作了一個(gè)媒介，參與各種運(yùn)算和變形，到了最后卻奇跡般消失了，留下一個(gè)我們需要的結(jié)果，而該結(jié)果，不利用虛數(shù)去求解會(huì)相當(dāng)困難。

虛數(shù)就是這么一個(gè)精靈，推導(dǎo)很多數(shù)學(xué)公式的捷徑，往往是通過虛數(shù)領(lǐng)域。

好啦！這篇文章就和大家分享到這里呢。

聲明：本人在上發(fā)表的所有文章,不做特別備注的均為原創(chuàng)，而且也只在上發(fā)表，在版權(quán)保護(hù)功能沒申請(qǐng)下來前，文章內(nèi)的圖片，我將嵌入外部水印，如果這對(duì)讀者朋友們?cè)斐闪碎喿x影響，請(qǐng)及時(shí)反饋給我們，謝謝大家的支持和理解！

拓展知識(shí)：

前沿拓展：

gamma函數(shù)

如圖所示：

今天，我們來聊一聊數(shù)學(xué)中伽瑪函數(shù)的發(fā)現(xiàn)史，也體驗(yàn)一番歐拉那精妙絕倫的數(shù)學(xué)技巧。

我們假設(shè)一下，如果你是18世紀(jì)的一位非常優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，那么面對(duì)這兩個(gè)定積分，你會(huì)怎么樣？

歐拉-菲涅爾積分

現(xiàn)在我們知道這是個(gè)反常積分，也有好幾個(gè)辦法來處理，不過別忘了，你現(xiàn)在處于18世紀(jì)，傅立葉（1768-1830）要到1807年才提出傅立葉級(jí)數(shù)，這兩個(gè)積分的難度可是要比巴塞爾級(jí)數(shù)難上數(shù)百倍。

我有信心負(fù)責(zé)任地說，這時(shí)候你沒有任何辦法去解決這兩個(gè)積分，因?yàn)樵?743年，連大數(shù)學(xué)歐拉都拿這兩個(gè)積分無能為力，歐拉能做到最好的結(jié)果是證明了它們收斂。

而這個(gè)積分頻繁地出現(xiàn)在物理分析中，力學(xué)中有它，光學(xué)中有它，流體力學(xué)也有這兩個(gè)積分的身影，以至于歐拉在1743年說道：”我們必須承認(rèn)，如果有人找到一種辦法，使得這兩個(gè)積分得以確定，哪怕是得到近似的結(jié)果，對(duì)分析學(xué)來說都是不小的收獲……”。

然而40年后，歐拉解決了這難題，他計(jì)算這兩個(gè)積分的關(guān)鍵，在于利用虛數(shù)去處理伽瑪函數(shù)。

階乘我們都學(xué)過，可是我們所學(xué)的只對(duì)正整數(shù)有效，既n！=n(n-1)(n-2)…2*1。

在1722年，哥德巴赫認(rèn)識(shí)到階乘函數(shù)的定義域，能延拓到實(shí)數(shù)域上，但是他無法求解延拓后的解析式，于是他寫信給尼古拉斯·伯努利，請(qǐng)教階乘函數(shù)的插值問題，可惜一直沒有進(jìn)展。

到了1729年，他又寫信請(qǐng)教丹尼爾·伯努利（丹尼爾·伯努利是尼古拉斯·伯努利的弟弟，而約翰伯努利他們的老爸，也是歐拉的老師），丹尼爾·伯努利巧妙地避開有限插值的局限，利用無窮插值法得到了階乘插值的求解，但僅限于求值。

伯努利家族和歐拉的關(guān)系密切，這事當(dāng)然也被歐拉知道了，受到丹尼爾·伯努利無窮插值法的啟示，歐拉利用另外一個(gè)插值公式，最終得到了完美的階乘函數(shù)全實(shí)數(shù)表達(dá)式——即伽瑪函數(shù)，此時(shí)的歐拉只有22歲。

伽瑪函數(shù)

并得到了一個(gè)令人吃驚的結(jié)果：

伽瑪函數(shù)

要知道，這時(shí)候虛數(shù)還沒有被數(shù)學(xué)界承認(rèn)，歐拉到1748年才提出著名的歐拉公式，這時(shí)候的伽瑪函數(shù)只在實(shí)數(shù)定義域上被承認(rèn)。

等到歐拉熟練使用虛數(shù)后，我們來看他是如何處理文章開頭那兩個(gè)積分的。

第一，歐拉直接把伽瑪函數(shù)自變量x寫成純虛數(shù)ix，也就是：

伽瑪函數(shù)

到了這一步，我們自然會(huì)想到歐拉公式了吧，我們不妨另x=1/2，一起入歐拉公式看看會(huì)怎么樣：

伽瑪函數(shù)變形

兩邊展開實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等，立馬得到：

伽瑪函數(shù)

看到這里，你是不是看到了我們開頭那兩個(gè)反常積分的影子，沒錯(cuò)，歐拉只需做一個(gè)變換：

X=S^2

既可得到：

歐拉-菲涅爾積分

歐拉真是天才?。。　撬€沒完，他利用伽瑪函數(shù)還解決了其他反常定積分。

我們看到，在歐拉的處理中，虛數(shù)i當(dāng)作了一個(gè)媒介，參與各種運(yùn)算和變形，到了最后卻奇跡般消失了，留下一個(gè)我們需要的結(jié)果，而該結(jié)果，不利用虛數(shù)去求解會(huì)相當(dāng)困難。

虛數(shù)就是這么一個(gè)精靈，推導(dǎo)很多數(shù)學(xué)公式的捷徑，往往是通過虛數(shù)領(lǐng)域。

好啦！這篇文章就和大家分享到這里呢。

聲明：本人在上發(fā)表的所有文章,不做特別備注的均為原創(chuàng)，而且也只在上發(fā)表，在版權(quán)保護(hù)功能沒申請(qǐng)下來前，文章內(nèi)的圖片，我將嵌入外部水印，如果這對(duì)讀者朋友們?cè)斐闪碎喿x影響，請(qǐng)及時(shí)反饋給我們，謝謝大家的支持和理解！

拓展知識(shí)：

前沿拓展：

gamma函數(shù)

如圖所示：

今天，我們來聊一聊數(shù)學(xué)中伽瑪函數(shù)的發(fā)現(xiàn)史，也體驗(yàn)一番歐拉那精妙絕倫的數(shù)學(xué)技巧。

我們假設(shè)一下，如果你是18世紀(jì)的一位非常優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，那么面對(duì)這兩個(gè)定積分，你會(huì)怎么樣？

歐拉-菲涅爾積分

現(xiàn)在我們知道這是個(gè)反常積分，也有好幾個(gè)辦法來處理，不過別忘了，你現(xiàn)在處于18世紀(jì)，傅立葉（1768-1830）要到1807年才提出傅立葉級(jí)數(shù)，這兩個(gè)積分的難度可是要比巴塞爾級(jí)數(shù)難上數(shù)百倍。

我有信心負(fù)責(zé)任地說，這時(shí)候你沒有任何辦法去解決這兩個(gè)積分，因?yàn)樵?743年，連大數(shù)學(xué)歐拉都拿這兩個(gè)積分無能為力，歐拉能做到最好的結(jié)果是證明了它們收斂。

而這個(gè)積分頻繁地出現(xiàn)在物理分析中，力學(xué)中有它，光學(xué)中有它，流體力學(xué)也有這兩個(gè)積分的身影，以至于歐拉在1743年說道：”我們必須承認(rèn)，如果有人找到一種辦法，使得這兩個(gè)積分得以確定，哪怕是得到近似的結(jié)果，對(duì)分析學(xué)來說都是不小的收獲……”。

然而40年后，歐拉解決了這難題，他計(jì)算這兩個(gè)積分的關(guān)鍵，在于利用虛數(shù)去處理伽瑪函數(shù)。

階乘我們都學(xué)過，可是我們所學(xué)的只對(duì)正整數(shù)有效，既n！=n(n-1)(n-2)…2*1。

在1722年，哥德巴赫認(rèn)識(shí)到階乘函數(shù)的定義域，能延拓到實(shí)數(shù)域上，但是他無法求解延拓后的解析式，于是他寫信給尼古拉斯·伯努利，請(qǐng)教階乘函數(shù)的插值問題，可惜一直沒有進(jìn)展。

到了1729年，他又寫信請(qǐng)教丹尼爾·伯努利（丹尼爾·伯努利是尼古拉斯·伯努利的弟弟，而約翰伯努利他們的老爸，也是歐拉的老師），丹尼爾·伯努利巧妙地避開有限插值的局限，利用無窮插值法得到了階乘插值的求解，但僅限于求值。

伯努利家族和歐拉的關(guān)系密切，這事當(dāng)然也被歐拉知道了，受到丹尼爾·伯努利無窮插值法的啟示，歐拉利用另外一個(gè)插值公式，最終得到了完美的階乘函數(shù)全實(shí)數(shù)表達(dá)式——即伽瑪函數(shù)，此時(shí)的歐拉只有22歲。

伽瑪函數(shù)

并得到了一個(gè)令人吃驚的結(jié)果：

伽瑪函數(shù)

要知道，這時(shí)候虛數(shù)還沒有被數(shù)學(xué)界承認(rèn)，歐拉到1748年才提出著名的歐拉公式，這時(shí)候的伽瑪函數(shù)只在實(shí)數(shù)定義域上被承認(rèn)。

等到歐拉熟練使用虛數(shù)后，我們來看他是如何處理文章開頭那兩個(gè)積分的。

第一，歐拉直接把伽瑪函數(shù)自變量x寫成純虛數(shù)ix，也就是：

伽瑪函數(shù)

到了這一步，我們自然會(huì)想到歐拉公式了吧，我們不妨另x=1/2，一起入歐拉公式看看會(huì)怎么樣：

伽瑪函數(shù)變形

兩邊展開實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等，立馬得到：

伽瑪函數(shù)

看到這里，你是不是看到了我們開頭那兩個(gè)反常積分的影子，沒錯(cuò)，歐拉只需做一個(gè)變換：

X=S^2

既可得到：

歐拉-菲涅爾積分

歐拉真是天才?。。　撬€沒完，他利用伽瑪函數(shù)還解決了其他反常定積分。

我們看到，在歐拉的處理中，虛數(shù)i當(dāng)作了一個(gè)媒介，參與各種運(yùn)算和變形，到了最后卻奇跡般消失了，留下一個(gè)我們需要的結(jié)果，而該結(jié)果，不利用虛數(shù)去求解會(huì)相當(dāng)困難。

虛數(shù)就是這么一個(gè)精靈，推導(dǎo)很多數(shù)學(xué)公式的捷徑，往往是通過虛數(shù)領(lǐng)域。

好啦！這篇文章就和大家分享到這里呢。

聲明：本人在上發(fā)表的所有文章,不做特別備注的均為原創(chuàng)，而且也只在上發(fā)表，在版權(quán)保護(hù)功能沒申請(qǐng)下來前，文章內(nèi)的圖片，我將嵌入外部水印，如果這對(duì)讀者朋友們?cè)斐闪碎喿x影響，請(qǐng)及時(shí)反饋給我們，謝謝大家的支持和理解！

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前沿拓展：

gamma函數(shù)

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今天，我們來聊一聊數(shù)學(xué)中伽瑪函數(shù)的發(fā)現(xiàn)史，也體驗(yàn)一番歐拉那精妙絕倫的數(shù)學(xué)技巧。

我們假設(shè)一下，如果你是18世紀(jì)的一位非常優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，那么面對(duì)這兩個(gè)定積分，你會(huì)怎么樣？

歐拉-菲涅爾積分

現(xiàn)在我們知道這是個(gè)反常積分，也有好幾個(gè)辦法來處理，不過別忘了，你現(xiàn)在處于18世紀(jì)，傅立葉（1768-1830）要到1807年才提出傅立葉級(jí)數(shù)，這兩個(gè)積分的難度可是要比巴塞爾級(jí)數(shù)難上數(shù)百倍。

我有信心負(fù)責(zé)任地說，這時(shí)候你沒有任何辦法去解決這兩個(gè)積分，因?yàn)樵?743年，連大數(shù)學(xué)歐拉都拿這兩個(gè)積分無能為力，歐拉能做到最好的結(jié)果是證明了它們收斂。

而這個(gè)積分頻繁地出現(xiàn)在物理分析中，力學(xué)中有它，光學(xué)中有它，流體力學(xué)也有這兩個(gè)積分的身影，以至于歐拉在1743年說道：”我們必須承認(rèn)，如果有人找到一種辦法，使得這兩個(gè)積分得以確定，哪怕是得到近似的結(jié)果，對(duì)分析學(xué)來說都是不小的收獲……”。

然而40年后，歐拉解決了這難題，他計(jì)算這兩個(gè)積分的關(guān)鍵，在于利用虛數(shù)去處理伽瑪函數(shù)。

階乘我們都學(xué)過，可是我們所學(xué)的只對(duì)正整數(shù)有效，既n！=n(n-1)(n-2)…2*1。

在1722年，哥德巴赫認(rèn)識(shí)到階乘函數(shù)的定義域，能延拓到實(shí)數(shù)域上，但是他無法求解延拓后的解析式，于是他寫信給尼古拉斯·伯努利，請(qǐng)教階乘函數(shù)的插值問題，可惜一直沒有進(jìn)展。

到了1729年，他又寫信請(qǐng)教丹尼爾·伯努利（丹尼爾·伯努利是尼古拉斯·伯努利的弟弟，而約翰伯努利他們的老爸，也是歐拉的老師），丹尼爾·伯努利巧妙地避開有限插值的局限，利用無窮插值法得到了階乘插值的求解，但僅限于求值。

伯努利家族和歐拉的關(guān)系密切，這事當(dāng)然也被歐拉知道了，受到丹尼爾·伯努利無窮插值法的啟示，歐拉利用另外一個(gè)插值公式，最終得到了完美的階乘函數(shù)全實(shí)數(shù)表達(dá)式——即伽瑪函數(shù)，此時(shí)的歐拉只有22歲。

伽瑪函數(shù)

并得到了一個(gè)令人吃驚的結(jié)果：

伽瑪函數(shù)

要知道，這時(shí)候虛數(shù)還沒有被數(shù)學(xué)界承認(rèn)，歐拉到1748年才提出著名的歐拉公式，這時(shí)候的伽瑪函數(shù)只在實(shí)數(shù)定義域上被承認(rèn)。

等到歐拉熟練使用虛數(shù)后，我們來看他是如何處理文章開頭那兩個(gè)積分的。

第一，歐拉直接把伽瑪函數(shù)自變量x寫成純虛數(shù)ix，也就是：

伽瑪函數(shù)

到了這一步，我們自然會(huì)想到歐拉公式了吧，我們不妨另x=1/2，一起入歐拉公式看看會(huì)怎么樣：

伽瑪函數(shù)變形

兩邊展開實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等，立馬得到：

伽瑪函數(shù)

看到這里，你是不是看到了我們開頭那兩個(gè)反常積分的影子，沒錯(cuò)，歐拉只需做一個(gè)變換：

X=S^2

既可得到：

歐拉-菲涅爾積分

歐拉真是天才?。?！——但是他還沒完，他利用伽瑪函數(shù)還解決了其他反常定積分。

我們看到，在歐拉的處理中，虛數(shù)i當(dāng)作了一個(gè)媒介，參與各種運(yùn)算和變形，到了最后卻奇跡般消失了，留下一個(gè)我們需要的結(jié)果，而該結(jié)果，不利用虛數(shù)去求解會(huì)相當(dāng)困難。

虛數(shù)就是這么一個(gè)精靈，推導(dǎo)很多數(shù)學(xué)公式的捷徑，往往是通過虛數(shù)領(lǐng)域。

好啦！這篇文章就和大家分享到這里呢。

聲明：本人在上發(fā)表的所有文章,不做特別備注的均為原創(chuàng)，而且也只在上發(fā)表，在版權(quán)保護(hù)功能沒申請(qǐng)下來前，文章內(nèi)的圖片，我將嵌入外部水印，如果這對(duì)讀者朋友們?cè)斐闪碎喿x影響，請(qǐng)及時(shí)反饋給我們，謝謝大家的支持和理解！

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